二维向量夹角计算器

什么是向量夹角？

向量夹角是指两个向量之间的角度。

如何计算向量夹角

为了计算两个向量之间的夹角，我们使用点积公式。它就像两个向量之间的秘密握手，告诉我们它们有多相似。两个向量越相似，夹角越小。

公式

如果我们有两个向量 \(\vec{a} = (a_x, a_y)\) 和 \(\vec{b} = (b_x, b_y)\)，夹角 \(\theta\) 是：

\[ \theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right) \]

其中 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) 是点积，\( |\vec{a}| \) 和 \( |\vec{b}| \) 是向量的大小（长度）。

计算步骤

1. 计算点积：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y\)
2. 计算大小：\( |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \) 和 \( |\vec{b}| = \sqrt{b_x^2 + b_y^2} \)
3. 将点积除以大小的乘积
4. 取反余弦（arccos）
5. 转换为度（乘以 180/π）

示例

让我们计算两个向量 \(\vec{a} = (3, 4)\) 和 \(\vec{b} = (1, 2)\) 之间的夹角。

1. 点积：\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (3 \times 1) + (4 \times 2) = 3 + 8 = 11\)
2. 大小：\( |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \) 和 \( |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \)
3. \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{11}{5\sqrt{5}} \approx 0.9838\)
4. \(\theta = \arccos(0.9838) \approx 0.1028\) 弧度
5. 转换为度：\(0.1028 \times \frac{180°}{\pi} \approx 5.89°\)

所以，两个向量之间的夹角约为 5.89°

应用场景

向量夹角计算在许多领域都有重要应用：

• 游戏开发：计算物体之间的方向和运动
• 机器人学：确定机器人手臂的移动方向
• 物理学：分析力的作用和运动方向
• 导航系统：计算航向和方向
• 计算机图形学：3D建模和动画

注意事项

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